Category: Matematikë


Formulat e gjykimeve


Gjykimet p, q, r, etj., duke vepruar me operacionet e veprimeve themelore:
Λ, V, ˥, =>, <=>, formojnë shprehje në matematikën logjike, të cilat i quajmë
Formula të Gjykimeve.

Për shembull: p Λ qp => q; ˥ (p V q); etj. –janë formula të gjykimeve.

Formulat e gjykimeve i shënojmë me shkronja të mëdha të alfabetit:
A, B, C, D, E, F, G,…    …P, Q, R, …   –etj.

Dy formula, A dhe B themi se janë logjikisht ekuivalente, në qoftë se kanë vlera të njëjta sajtësie: ⱱ(A) = ⱱ(B)  =>  A=B.

Në qoftë se formula e gjykimeve në të gjitha rastet është e saktë, për të gjitha vlerat e mundshme të shkronjave të saj, atëherë ajo formulë quhet TAUTOLOGJI (╞ ), në të kundërtën, formula quhet KONTRADIKSION.

Disa Tautologji më të njohura:

1°   ╞ (p V ˥ p)  – Ligji i përjashtimit të së tretës

2°  ╞  ˥(p V ˥ p) – Ligji i Kontradiksionit

3°  ╞ p Λ (p => q) => q  –Ligji i thjeshtimit

4°  ╞ ˥˥ p <=> p – Ligji i negacionit të dyfishtë


Implikacion i dy gjykimeve p, q quhet gjykimi i përbërë “p atëherë q”, që simbolikisht shënohet p=>q.

Për shembull: Nëse 2 + 3 = 5, atëherë (=>) shuma e këndeve të trekëndëshit është 180°.

Implikacioni p=>q është gjykim i saktë nëse gjykimet p, q kanë vlera të sakta ose të pasakta. Poashtu, Implikacioni është i saktë nëse p = ┴ , ndërsa q = ┬ .

 

Tabela e Implikacionit

p q p => q
Ekuivalencë të gjykimeve p, q e quajmë gjykimin e përbërë
p atëherë dhe vetëm atëherë q” dhe simbolikisht shënohet p <=> q.


Ekuivalenca është e saktë nëse të dy gjykimet p, q kanë të njëjtën vlerë saktësie (të dyja të sakta ose të dyja të pasakta).
Tabela e Ekuivalencës
p q p <=> q

Gjykimi ˥p (lexo: “Jo p”) quhet negacion i gjykimit p, dhe simbolikisht shënohet “˥p”. Për shembull:

  p: Numri 3 është numër i përbërë.
˥p: Numri 3 nuk është numër i përbërë.

p: Diagonalet e paralelogramit në pikëprerje përgjysmohen.

q: Diagonalet e katrorit janë të barabarta.

˥p Λ q: Diagonalet e paralelogramit më pikëprerje nuk përgjysmohen, dhe 
           Diagonalet e katrorit janë të barabarta.

p V (q Λ r) =  (p V q) Λ (p V r)

Shembulli 1: Janë dhënë gjykimet:

p: Besa është e sëmurë.
q: Agimi e bleu librin.   -Shprehni me fjalë gjykimet e dhëna: a)  ˥p ;         b)  ˥q ; 
c) p Λ ˥q ;             d) ˥p Λ ˥q

˥p: Besa nuk është e sëmurë.


˥q: Agimi nuk e bleu librin.


p Λ ˥q: Besa është e sëmurë ose Agimi nuk e bleu librin.


˥p Λ ˥q: Besa nuk është e sëmurë dhe Agimi nuk e bleu librin.

Shembulli 2: Njehso: a) ˥ [ ┴ Λ ˥( ┬ V ┴)]
                                       
                                       b) Λ ˥ [ ┬ Λ ˥ (┬ V ┴)]

a)  ˥ [ ┴ Λ ˥( ┬ V ┴)]      =  ˥ (┴ Λ ˥ ┬ )    = ˥ (┴ Λ )  = ˥ ┬ =

b) ┬ Λ ˥ [ ┬ Λ ˥ (┬ V ┴)]      =    ┬ Ʌ ˥ (┬ Λ ˥ ┬)  =  ┬ Λ ˥ (┬ Λ ┴) 

                                                

      = ┬ Λ ˥   = ┬ Λ ┬ = 

Shembulli 3: Për cilat vlera të variablit X nga bashkësia A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}  janë të sakta formulat?

a) ˥ (x > 4);      b) ˥ (x ≤ 4);     c) ˥ ( x = 1  V  x = 2)

a) x E {1, 2, 3, 4}

b) x E {4, 5, 6, 7}

c) x E {3, 4, 5, 6, 7}

Operacionet me Gjykime


Operacionet me gjykime përfshijnë veprimet:

dhe ( ˄ – konjuksion ),

ose ( ˅ – disjunksion),

jo    ( ˥ – implikacion).

Konjuksioni dhe disjunksioni

Konjuksioni i dy gjykimeve “p, q” quhet gjykimi p dhe q, që simbolikisht shënohet

p ˄ q   
(lexo:   “p konjuksion q”).

Për shembull:  p: Sot është ditë e mërkurë dhe
                           
q: Sot është ditë me diell.

p ˄ q:  Sot është ditë e mërkurë dhe Sot është ditë me diell.

p q

p ˄ q

Tabela e konjuksionit
Disjunksion të gjykimeve p, q e quajmë gjykimin p ose q, që simbolikisht shënohet ( p ˅ q). Disjunksioni i gjykimeve p ˅ q është i saktë atëherë kur njëri nga gjykimet është i saktë.
p q p ˅ q
Tabela e disjunksionit
Shembulli 1: Ndërtoni formulat logjike që u përgjigjen qarqeve elektrike:
Math
 
 
 
Shembulli 2: Shëno formulat që u përgjigjen skemave (trupave të degëzuar):
Math 2

Gjykimet


Koncepti i fjalisë është koncept themelor në logjikën matematike. Me anë të fjalisë pohojmë ose deklarojmë diçka. P.sh:

“Deti Adriatik ndodhet në Azi.”

“Zogu fluturon.”

“Lepenci derdhet në Vardar.”

“Europa është shtet.”          ; etj.

Siç shohim, disa nga fjalitë janë të sakta, e disa të pasakta.
     Fjalitë që janë të sakta, quhen pohime.
         Gjykimet shënohen me shkronja të vogla të alfabetit (p, q, r, etj.)

Vlerat e saktë ( T ) dhe e pasaktë ( ┴ ) quhen vlera të saktësisë së gjykimeve.

P.sh:  p: Peshku jeton në mal. ( ┴ )

            q: Prishtina është kryeqytet i Kosovës. ( T )

Fjalitë, të cilave nuk mund t’iu konstatohet saktësia ose pasaktësia e tyre, nuk janë gjykime.

P.sh: A shkojmë në shkollë? ;    Sa është ora? ;    Trekëndëshi vallëzon.        -nuk janë gjykime.

Gjykimet e shënuara më lart, si:

“Peshku jeton në mal.” ;   “Prishtina është kryeqytet i Kosovës.” ;   “Deti Adriatik ndodhet në Azi.”        -janë gjykime elementare, ndërsa:

Sot është e enjte dhe është ditë me diell". ;
”Nesër do të jetë ditë e enjte dhe data 15.” ;    etj.   
-janë gjykime joelementare ose gjykime të përbëra.